Matemática e suas Tecnologias - Aula I

Trigonometria nos triângulos

:: Prof. Aldemir Jucá

Razões Trigonométricas

Em um triângulo retângulo as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente são assim definidas:

seno =	cateto oposto ______________
	hipotenusa
cos seno =	cateto adjacente ______________
	hipotenusa
tan seno =	cateto oposto ______________
	cateto adjacente

Veja no triângulo ABC abaixo:

Das igualdades acima é possível retirarmos algumas observações interessantes:

1) Para todo ângulo	α ≠	π _____	+ kπ, temos que:	tanα =	senα ______
		2			cosα

2) Se α + β = 90º, então senα = cosβ.

3) Se α + β = 90º, então tgα.tgβ = 1.

4) Para todo ânguloα, temos que sen²α + cos²α = 1.

Uma tabela de valores importantes

	30ͦ	45ͦ	60ͦ
sen	1 __ 2	√2 ___ 2	√2 ___ 3
cos	√3 __ 2	√2 ___ 2	1 ___ 3
tg	√3 ___ 3	1	√3

Seno e cosseno de ângulos obtusos

→ sen (180 - α) = senα

→ cos (180 - α) = -cosα

estas informações nos permite determinar os valores de razões trigonométricas de ângulos obtusos, por exemplo:

sen120º = sen (180º - 120º) = sen60º =	√3 ____
	2

— Lei dos senos

Em um triângulo qualquer ABC seus lados são proporcionais ao seno do ângulo oposto.

a   ____ =	b ____ =	c ____
senA	senB	senC

Veja: Na figura1 temos um triângulo ABC inscrito em uma circunferência, de lados a, b, c e ângulos As figuras 2, 3 e 4 representam o mesmo triângulo na qual traçamos respectivamente os diâmetros BD, AE e BF.

Analisando individualmente as figuras 2, 3 e 4, é possível afirmar que:

Figura 2
BD é diâmetro → BD = 180º; BĈD é um ângulo inscrito → BD = BD/2 daí BĈD = 90º α = δ, pois são ângulos inscritos que correspondem ao mesmo arco BC.

Como BĈD = 90º então o triângulo BĈD é retângulo e, portanto: senδ =

senδ =	a   ____ =	a   ____ →	senα =	a     ____ →	a   ____ =	2R
	BD	2R		2R	senα

Figura 3

AE é diâmetro → ÂE = 180º;  AĈE é um ângulo inscrito AĈE = ÂE/2, daí; AĈE = 90º α = ρ, pois são ângulos inscritos que correspondem ao mesmo arco ÂC. Como AĈE = 90º então o triângulo  é retângulo e, portanto: 

senρ =	b    ____ =	b    ____ →	senβ =	b     ____ →	b     ____ =	2R
	AE	2R		2R	senβ

Figura 4

BF é diâmetro → BF = 180º; BÂF é um ângulo inscrito →BÂF = BF/2, daí BÂF = 180º; θ = φ, pois são ângulos inscritos que correspondem ao mesmo arco AB. Como  BÂF = 90º então o triângulo BAF é retângulo e, portanto:

senø =	c ____ =	c ____ →	senθ =	c ____ →	c ____ =	2R
	BF	2R		2R	senθ

Das conclusões acima obtemos:

a ____ =    b ____ =    c ____ = 2R senA senB senC

— Lei dos cossenos

Por Pitágoras no triângulo AHC temos:  b2 = h2 + (a – m)2  (i) 

Novamente Pitágoras em AHB temos: c2 = h2 + m2  (ii)  

Subtraindo as igualdades (i)  e (ii) obtemos:

b2 – c2 = h2 – h2 + (a – m)2 – m2

b2 – c2 = a2 –2am + m2 – m2

b2 – c2 = a2 – 2am 

b2 = a2 + c2 – 2am, observe que no triângulo AHB, cosβ = m/c e portanto...

b2 = a2 + c2 –2ac.cosβ m = c.cosβ

Analogamente podemos escrever:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosα

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosα 

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Para saber Mais

TABELA TRIGONOMÉTRICA
Ângulo	sen	cos	tg
1	0,017452	0,999848	0,017455
2	0,034899	0,999391	0,034921
3	0,052336	0,99863	0,052408
4	0,069756	0,997564	0,069927
5	0,087156	0,996195	0,087489
6	0,104528	0,994522	0,105104
7	0,121869	0,992546	0,122785
8	0,139173	0,990268	0,140541
9	0,156434	0,987688	0,158384
10	0,173648	0,984808	0,176327
11	0,190809	0,981627	0,19438
12	0,207912	0,978148	0,212557
13	0,224951	0,97437	0,230868
14	0,241922	0,970296	0,249328
15	0,258819	0,965926	0,267949
16	0,275637	0,961262	0,286745
17	0,292372	0,956305	0,305731
18	0,309017	0,951057	0,32492
19	0,325568	0,945519	0,344328
20	0,34202	0,939693	0,36397
21	0,358368	0,93358	0,383864
22	0,374607	0,927184	0,404026
23	0,390731	0,920505	0,424475
24	0,406737	0,913545	0,445229
25	0,422618	0,906308	0,466308
26	0,438371	0,898794	0,487733
27	0,45399	0,891007	0,509525
28	0,469472	0,882948	0,531709
29	0,48481	0,87462	0,554309
30	0,5	0,866025	0,57735
31	0,515038	0,857167	0,600861
32	0,529919	0,848048	0,624869
33	0,544639	0,838671	0,649408
34	0,559193	0,829038	0,674509
35	0,573576	0,819152	0,700208
36	0,587785	0,809017	0,726543
37	0,601815	0,798636	0,753554
38	0,615661	0,788011	0,781286
39	0,62932	0,777146	0,809784
40	0,642788	0,766044	0,8391
41	0,656059	0,75471	0,869287
42	0,669131	0,743145	0,900404
43	0,681998	0,731354	0,932515
44	0,694658	0,71934	0,965689
45	0,707107	0,707107	1
46	0,71934	0,694658	1,03553
47	0,731354	0,681998	1,072369
48	0,743145	0,669131	1,110613
49	0,75471	0,656059	1,150368
50	0,766044	0,642788	1,191754
51	0,777146	0,62932	1,234897
52	0,788011	0,615661	1,279942
53	0,798636	0,601815	1,327045
54	0,809017	0,587785	1,376382
55	0,819152	0,573576	1,428148
56	0,829038	0,559193	1,482561
57	0,838671	0,544639	1,539865
58	0,848048	0,529919	1,600335
59	0,857167	0,515038	1,664279
60	0,866025	0,5	1,732051
61	0,87462	0,48481	1,804048
62	0,882948	0,469472	1,880726
63	0,891007	0,45399	1,962611
64	0,898794	0,438371	2,050304
65	0,906308	0,422618	2,144507
66	0,913545	0,406737	2,246037
67	0,920505	0,390731	2,355852
68	0,927184	0,374607	2,475087
69	0,93358	0,358368	2,605089
70	0,939693	0,34202	2,747477
71	0,945519	0,325568	2,904211
72	0,951057	0,309017	3,077684
73	0,956305	0,292372	3,270853
74	0,961262	0,275637	3,487414
75	0,965926	0,258819	3,732051
76	0,970296	0,241922	4,010781
77	0,97437	0,224951	4,331476
78	0,978148	0,207912	4,70463
79	0,981627	0,190809	5,144554
80	0,984808	0,173648	5,671282
81	0,987688	0,156434	6,313752
82	0,990268	0,139173	7,11537
83	0,992546	0,121869	8,144346
84	0,994522	0,104528	9,514364
85	0,996195	0,087156	11,43005
86	0,997564	0,069756	14,30067
87	0,99863	0,052336	19,08114
88	0,999391	0,034899	28,63625
89	0,999848	0,017452	57,28996
90	1	0	-

Caracteres Matemáticos e Lógicos

¹	elevado a um
²	ao quadrado
³	ao cubo
½	fração um meio
¼	fração um quarto
¾	fração três quartos
>	maior que
<	menor que
±	mais ou menos
−	sinal de subtração
×	sinal de multiplicação
÷	sinal de divisão
∗	asterisco
⁄	barra de fração
‰	por-mil
∫	sinal de integral
∑	somatório
∏	PI
√	raiz quadrada
∞	infinito
≈	quase igual
≅	aproximadamente igual
∝	proporcional
≡	idêntico
≠	diferente
≤	menor ou igual
≥	maior ou igual
∴	consequentemente
⋅	ponto
·	ponto do meio
∂	diferença parcial
ℑ	parte imaginária do número
ℜ	parte real do número
′	minuto
″	segundo
°	grau
∠	ângulo
⊥	perpendicular
∇	nabla
⊕	soma direta
⊗	produto de vetor
ℵ	alef
ø	produto vazio
Ø	produto vazio
∈	elemento de/pertence a
∉	não é elemento de
∩	interseção
∪	união
⊂	subconjunto de
⊃	superconjunto de
⊆	subconjunto de ou igual a
⊇	superconjunto de ou igual a
∃	existe
∀	qualquer
∅	vazio
¬	não lógico
∧	e lógico
∨	ou lógico
↵	retorno de carro
← e →	setas simples
↑ e ↓	setas simples
↔	seta simples
⇐ e ⇒	setas duplas
⇑ e ⇓	setas duplas
⇔	seta dupla
⌈ e ⌉	teto (esquerdo e direito)
⌊ e ⌋	piso (esquerdo e direito)
◊	losango